數學線性規劃問題探究

作者簡介：周亞鋒（1996.4），男，漢族，湖北武漢市人，學生，學校：湖北省實驗中學。

摘要：通過對實際生活中有關優化問題的探討，運用線性規劃知識，使問題情景數學化，特別是應用圖解法有關可行解的理論，對有關優化問題的數學模型的建立和求解給出了具體方法。

關鍵詞：線性規劃；約束條件；目標函數；圖解法

利用線性規劃知識建立有關優化問題的數學模型，需要尋求決策變量x，在優化問題中，通常有多個決策變量，常用一組不等式來描述即約束條件。在解決最優解問題時，若用數量形式描述即目標函數。對不同的問題，其目標和條件的表現形式可以是各式各樣，但在數學看來，都可以概括為：求某一函數在一定約束條件下的最大（最小）值的問題。

一、線性規劃問題

1、不等式Ax+By+C>0

（1）當B>0時 y>-A/Bx-C/B表示直線Ax+By+C=0的上部分

（2）當B　　（3）當B=0時，當A>0時 x>-C/A表示直線x=-C/A的右方部分

當A　　2、點在直線同側還是異側的判斷

令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0

（1）A，B在L的異側（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）　　（2）A，B在L的同側（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0

3、不等式表示的平面區域

例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面區域圖1

|x|+|y|-2≤0

x+y-2≤0

-x-y-2≤0

x-y-2≤0

-x+y-2≤0

圖1

二、建立優化問題的數學模型

下面通過實例看看如何形成約束條件和目標函數。

例：某工廠甲、乙兩種產品，計劃每天各種產品的生產量不少于15t，已知如表1所示。

12問應如何安排生產才能獲得最大利潤？

設甲、乙兩種產品分別為x（t），y（t），總利潤z（萬元）

則有約束條件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目標函數為：zmax=7x+12y

概括上述問題的數學模型就是：求一組非負數x、y，使之滿足上述約束條件，且使目標函數取得最大值。

三、用圖解法解線性規劃問題的方法

建立有關優化問題的數學模型后，下一步就需要求解問題。由于目標函數和約束條件都是線性函數，在二維情況下，可行解的區域為直線段圍成的凸多邊形，于是，最優解一定在凸多邊形的某個頂點處取得。

解決上述的實際問題：

約束條件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目標函數為：zmax=7x+12y

由上述約束條件的5個不等式來確定可行解的區域。圖2中陰影部分為凸多邊形，其中每個點的坐標都是線性規劃問題的一個可行解。

求目標函數為：zmax=7x+12y取得最大值。

令z等于某一個常數，如z=366.69，411，417.246，428等分別做直線zmax=7x+12y，這些線都是互相平行的直線，即是目標函數的等值線。當z越來越大時，直線離開原點越來越遠，最后，在滿足約束條件的所有解中，使z取得最大值的解將在可行域的邊界點A（20，24）處得到，即當x=20、y=24時zmax=428（萬元）。

由上述可知，用圖解法解決實際問題的基本思路是：畫出由約束條件所確定的可行域S，然后根據目標函數的梯度方向，在可行域S中選取最優解（x，y），使所求的目標函數有最大（最小）值。

總之，數學知識不單單可用于紙上解答問題，還可以解決實際生活中很多的問題，數學對人類的幫助很大。（作者單位：湖北省實驗中學）

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