相似三角形判定定理的證明課件

第23章 圖形的相似

第5節 相似三角形判定

WY

復習回顧

全等判定：

(對應)邊角

(6組量) 判定方法 角邊角 角角邊 邊邊邊

邊角邊

1.兩角分別相等

三角分別

相等, 三2.三邊成比例 3.兩邊成比例且

夾角相等

4.兩邊成比例且

其中一邊的對角相等 邊成比例

判定定理一： 兩角分別相等的兩個三角形相似。

證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A/B/,AE=A/C/，連結DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/

∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，

∴ ∠ADE=∠B/，

又∵ ∠B/=∠B，

∴ ∠ADE=∠B，

∴ DE//BC，

∴ ΔADE∽ΔABC。 A A/ E

∴ ΔA/B/C/∽ΔABC B C B/ C/ 判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。可以簡單說成：“有兩個角對應相等的兩個三角形相似。”

證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A/B/,AE=A/C/，連結DE。

∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。

A

A/

E

∴ ΔA/B/C/∽ΔABC

B

C B/ C/

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。可以簡單說成：“

有兩個角對應相等的兩個

三角形相似。”

判定定理二：兩邊對應成比例且夾角相等的

兩個 三角形相似.

判定定理三：三邊成比例的兩個三角形相似

?如圖,△ ABC與△ A′B′C′相似嗎? ?你用什么方法來支持你的判斷?

AB?8 ,BC? ,AC?2 ;A?B??4,B?C??,A?C??2;

ABACBC2?????2.A?B?A?C?B?C?1

有一對 等角,找

另一對等角---用判定定理1 夾邊成比例---用判定定理2 夾角相等----用判定定理2

有兩邊對應 邊成比例,

第三邊也成比例---用判定定理3

找

有一對直角---用直角三角形 相似的判定定理

B

D C B

D E

D C

C

B

B C

C

B

D

D

F

提示：易知?B1A1C1??B2A2C2

???90?45

由勾股定理得

A1B1?22，A1C1?4A2B2?2，A2C2?2

ABA2B2

??

ACA2C2

?△A1B1C1∽△A2B2C2

練習提高

思路分析： ∽ 先證明

先證明

上面的思路分析可以用一段順口溜來表述：

證等積，化等比；

橫找豎找定相似. 不相似，別著急； 等線等比來代替. ……

如何證明

△ABD∽△ACB

易知∠A是△ABD和△ACB 根據兩角分別相等的 的公共角，

兩個三角形相似，只要再證明一對角相等即可。觀察圖形，猜想 ∠3=∠C ？

1

2

∠3=∠C

∠3=∠C ∠A= ∠A

△ABD∽△ACB

1

2

AC

?

AB

AB?AD?AC

AE=AB

AE2=AD·AC

2

①當∠1=∠C時

②當∠1=∠A時

（2）已知AD=3，BD=5，AE=4，求AC的長 兩角分別相等的兩個三角形相似（2） ∵△ADE∽△ACB （已證）

ADAE??ACAB

34??，解得：ACAC3?5

?6

2）已知AD=5，BD=2， 求AC的長

兩角分別相等的兩個三角形相似（2） ∵△ACD∽△ABC （已證）

ACAD

??ABAC

AC5??解得：AC??35(負值舍去)5?2AC

相似三角形的常見類型

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