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周期函數的判定方法
[HTML]<br>[/HTML] 周期函數的判定方法
羅建宇
江蘇省張家港市暨陽高級中學 215600
周期性是函數的一個重要性質，近年高考對這一性質的考查加大了檢測力度，本文給出一些常用的判斷（識別）函數周期性的方法，供讀者參考．
一、 定義法
若存在非零常數 使 對于 的定義域內的任意 都成立，則 是周期函數，且非零常數 是 的一個周期．
二、 直觀法
若函數圖象可由某一段重復平移而銜接得到，則該函數是周期函數，且這一段圖象兩端點的橫坐標之差是這個函數一個周期．
三、 公式法
若 是最小正周期為 的周期函數，則 （其中 都是常數）是以 為最小正周期的周期函數．
四、 雙軸法
若兩條平行直線 都是函數 圖象的對稱軸，則 是周期函數，且 是它的一個正周期．
證：由 是函數 圖象的對稱軸，得：
又 也是函數 圖象的對稱軸，
所以，
故
因此 是周期函數，且 是它的一個正周期．
推論：圖象關于直線 對稱的偶函數必是周期函數，且 是它的一個正周期．
五、 兩點法
若點 ， 都是函數 圖象的對稱中心，則 是周期函數，且 是它的一個正周期．
證：由點 是函數 圖象的對稱中心，得：
又點 是函數 圖象的對稱中心，得：
兩式相減得：
因此 是周期函數，且 是它的一個正周期．
推論：圖象關于點 對稱的奇函數必是周期函數，且 是它的一個正周期．
六、點軸法
若直線 和點 分別是函數 圖象的對稱軸和對稱中心，則 是周期函數，且 是它的一個正周期．
證：由 是函數 圖象的對稱軸，得：
又 是函數 圖象的對稱中心，得：
故
兩式相減整理得：
所以 是周期函數，且 是它的一個正周期．
推論1圖象關于 對稱的奇函數必是周期函數，且 是它的一個正周期．
推論2圖象關于點 對稱的偶函數必是周期函數，且 是它的一個正周期．
注釋：
[1]另外，若函數滿足以下常見的函數方程之一，也可判定其為周期函數．即：
(1)對任意一個實數 ，都有 ，則函數 是周期函數，且 是它的一個周期；
(2)對任意一個實數 ，都有 ，則函數 是周期函數，且 是它的一個周期；
(3)對任意一個實數 ，都有 ，則函數 是周期函數，且 是它的一個周期．
[2]周期性的證明應嚴格按照周期函數的定義證明，在理解函數周期性時可結合圖象從數形結合的角度直觀的觀察，即方法二；
[3]函數周期性出現在三角函數一章中，故方法三常用做計算函數的最小正周期，尤其是三角函數的最小正周期；
[4]后三種方法及推論便于判斷一些特殊函數和抽象函數的周期性，反映了一般的抽象函數若同時具有奇偶性和對稱性或對稱性（兩個對稱關系），則函數具有周期性，可結合方法二加以理解．
例1(04年全國高考17題)求函數 的最小正周期、最大值和最小值．
解析：
所以函數的最小正周期為 ，最大值是 ，最小值是 ．
例2(01年全國高考22題第(2)問)設 是定義在 上的偶函數，其圖象關于直線 對稱，證明 是周期函數．
證明：∵ 關于直線 對稱
∴ ，
又 是偶函數知 ，
∴
上式中以 代 ，得 ，
這表明 是 上的周期函數，且2是它的一個周期．
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