淺說解決問題的策略與教學(沈重予)

《數學課程標準(實驗稿)》在課程總體目標的“解決問題”方面指出：(學生)形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。課程標準解讀中只闡述策略的重要性，沒有說明什么是策略。在一些數學教學專著里，雖然專家們談了解決問題的策略，但也不是共識的界說。

　　這一問題可以追溯到20世紀80年代世界性的數學課程改革，許多國家和地區紛紛把“問題解決”作為學校數學教育的核心。“問題解決”主要有二方面的含義：(1)問題解決是重要的社會活動。在日常生活、生產勞動、科學研究等各個領域，人們都要解決問題。遇到的問題，有些是熟悉的，已經有解決的方法；有些是新穎的，暫時沒有現成的方法。因此，人們一方面要積累一些模式用于前一類問題的解決，另一方面還要形成一些策略來解決后一類問題。(2)問題解決是學校教育的一項任務。學校教育是為了培養能適應當今和未來社會需要的人。數學課程作為一門基礎課程，應該具有前瞻性，要把善于提出問題、樂于解決問題列為課程目標，大力培養學生解決問題的意識和能力。(3)問題解決是數學教學的一種方式。如果數學教學把一部分內容用問題解決的方式進行，學生就有機會提出問題和解決問題，就能經常開展解決問題的活動，久而久之，就會逐漸習慣客觀理性地面對問題，獲得解決問題的方法、技巧及體驗，形成解決問題的策略。

　　我國數學課程改革把解決問題作為課程目標的一個方面，在課程標準里提出解決問題的策略，順應了先進的課程發展方向。其實，大多數教師憑自己的知識經驗，都能夠體會課程標準里的“策略”指的是什么，都能夠理解“策略”的教學價值，都能夠接受關于“策略”的教學內容和任務，沒有必要糾纏于“策略”的嚴密定義。同樣，課堂教學幫助學生體驗策略、形成策略，也不需要對“策略”是什么意思進行過多的說明或解釋，學生能夠在解決問題時感受“策略”的含義。

　　二、教學哪些策略

　　人類在大量解決問題的實踐中，總結了解決數學問題的一般過程，主要分“提出和理解問題、擬訂方案、執行計劃、評價反思”四個階段。解決問題的一般步驟是比較概括的上位觀念，可操作性并不強，必須落實于具體的方法、手段上。如，理解問題是在頭腦里構造問題的表征，這一構造活動總是圍繞已知條件與未知問題進行的。如果借助一些有效的形式和技術，效果會很好。再如，解決以前曾經見過的問題，要選擇可以利用的模型；解決首次遇到的問題，擬訂計劃需要數學思想統領，需要數學活動經驗支持。又如，執行計劃是既嚴格又靈活的過程，有時會調整原來的方案，甚至推翻并重新設計方案，有時還會跳過原先方案中的某些程序，加速求解的進程。還有反思什么、積累什么……都涉及了解決問題的策略。

　　解決問題的策略有很多，教材兼顧策略的可接受性和策略本身的實際價值，主要編排了以下策略： 第—學段 綜合與分析 四年級 整理、畫圖 五年級 枚舉、倒推 六年級 嘗試、轉化 綜合與分析是對問題里的信息進行加工，形成解決問題的思路、計劃。“綜合”著重研究已知條件之間的聯系，派生出新的數據條件，為解決問題增添新的資源。“分析”著重溝通條件與問題之間的聯系，在聯結點上把復雜的問題分解成連續的簡單問題。綜合與分析是基本的思維方法，并且總是結伴而行、相輔相成的。教材在一、二年級解決一步計算的實際問題，孕育著綜合、分析的思想。三年級通過兩步計算實際問題的教學，初步學會綜合與分析的思考方法。

　　整理、畫圖是加工信息的表現形式。小學數學 讓學生解決的問題，大多以圖畫情境或文字講述的方式呈現，在頭腦里表征數學問題，要排除(或淡化)非數學的內容和無關的數據，保留有價值的數學信息；要把分散、零星的重要數據組織起來，暴露蘊含的某些關系。另外，圖形直觀能把一些較難理解的問題，一些較難發現的關系變得易懂明朗。所以，整理與畫圖有益于理解題意，有助于分析、綜合，是解決問題的策略。第一學段的教材中出現了示意圖、線條圖、線段圖……利用圖畫表達數學概念和數量關系，是以后學習畫圖的基礎。四年級把整理、畫圖作為策略教學，讓學生體驗整理、畫圖對解決問題的積極意義，學會一些整理、畫圖的方法，主動應用到解決問題的過程中。

　　化歸是解決問題的重要策略，在解決新穎的、復雜的問題時十分有用，化歸有很多具體情況和方法，如特殊與一般的轉化、動與靜的轉化、順與逆的轉化、正與反的轉化……教材聯系小學生已有的知識經驗，以及思維、能力的發展水平，著重教學將新知轉化為舊知，并少量安排了把復雜的問題轉化為簡單的問題。

　　嘗試是解決問題時經常考慮采用的一種方法。解決一個從未見過的問題，經驗系統里沒有現成的模式可直接利用。這時，猜一猜、估一估往往是解決問題的突破口，猜與估把新的問題情境與一些已有的圖式聯系起來了。當然，猜想與估計不一定就是問題的答案，有可能是，也可能不是，這就需要通過驗證來確認或排除。當今和未來社會里，人們解決新穎問題的幾率越來越高，嘗試作為一種方法，驗證作為一種科學態度，兩者有機配合，是非常有效的策略。教材編排嘗試策略，也符合課程標準“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理和初步演繹推理能力”的精神。

　　三、怎樣教學“策略”

　　“策略”作為解決問題的計策、謀略，與“方法”有區別，也有聯系。“方法”一般具有行為特征，有操作的成分，而“策略”比方法上位，是組織和開展行動的方針，能指導有效地使用方法。“方法”可以從外部輸入，而“策略”只能在內部滋生，我們可以通過講解、示范、模仿，把方法教給學生，但無法代替他們形成策略。正如下棋、打牌，要學會走棋、出牌，可以拜會下棋、會打牌的人為師，從他那里學到方法。如果希望走出妙棋、打出好牌，則必須經常下棋、打牌，積累經驗，形成策略，即使有高手指點，也要自己領悟。

　　在教學解決問題的策略之前，學生已經解決過許多問題，初步積累了一些解決問題的知識和方法，但都是就事論事的，對生活經驗的依賴比較明顯。解決問題的教學，其目的不僅僅滿足于找到問題的答案，而在于形成解決問題的策略與能力。過去的解題經歷，是形成策略的寶貴資源，形成策略需要自主“體驗”。首先要體驗方法的具體內容和使用要領，學會方法；然后在廣泛、靈活地應用方法解決問題的過程中，體驗方法的價值。所以說，教學策略既不能離開方法說空話，也不能拘泥于方法犯教條主義。

　　教學策略，要在問題情境里激活相關的方法。三年級(上冊)第四單元“加和減”里的兩步汁算應用題，要初步形成分析法思路。例題用一條線段表示褲子的價錢，讓學生畫出表示上衣價錢的線段，計算買1套衣服要用的錢。畫表示上衣價錢的線段，能感受已知條件“褲子單價28元”與“上衣價錢是褲子的3倍”的聯系，感受所求問題“一套衣服的價錢”與已知條件“褲子的價錢”的關系，產生解決問題的思路。“試一試”繼續求上衣比褲子貴多少元，“想想做做”里解決“已知兩個數相差幾，求這兩個數的和”的問題，把解答例題的經驗向新的問題情境擴展。縱觀例題、“試一試”“想想做做”里的實際問題，反思“求總和”與“求相差數”的方法，就能初步形成從問題出發，向條件推理的分析法思路。前幾年有些課上，教師沒有引導學生對解決問題的過程與方法再認反思，甚至沒有意識到解題思路，影響了學生解題策略的形成。

　　教學策略時，如果相關的經驗不夠豐富，那就需要講一些方法，讓學生在學習方法的同時體驗方法，形成解決問題的策略。四年級(上冊)的“整理”策略，就是這樣教學的。例1利用歸一問題講整理，先把小明和小華買練習本的本數與用去的錢數填在表格里，示范了整理條件、問題的方法，以及通過整理形成的解題思路。接著讓學生解答小軍42元買了多少本，模仿著在表格里整理信息，體會整理對解決問題的積極作用。然后用連線形式表現小明、小華，小軍各人買的本數與用去錢數的對應關系，凸現了整理是溝通數量之間的聯系，使學生深刻地感受整理的方法和意義。“想想做做”第2題用整理策略解決歸總問題，學生首次解決歸總問題，沒有現成方法可以使用，甚至理解題意都會有閑難。教材指點學生把條件與問題表示在表格中，弄明白這個實際問題里有三種球 的價錢與買的個數，通過整理弄懂題意，形成解法，充分體現整理是一種有效的策略，尤其是面臨新穎的問題，或在不理解問題、想不到解法時，整理對解決問題是十分必要的。整理信息的形式是多樣的，畫表格整理雖然中規中矩，卻有點麻煩，麻煩往往降低可行性。摘錄相關信息，或者用線連一連，比較寬松、靈活，可行性強得多。另外，整理既可以借助外顯的形式進行，還可以在頭腦里進行，具有在頭腦里整理的習慣與能力，是策略教學的目標追求。教材充分體現了這樣的意圖，“想想做做”的前兩題給出了表格，要求填表整理。后兩題沒有給出表格，讓學生用自己喜歡的形式進行整理，適當作些摘錄或者在題目上勾勾畫畫都可以，體現了具體運用策略的形式是多樣的。

　　五年級(上冊)編排枚舉策略主要有兩點原因：一是有些實際問題里，條件與問題的關系不能歸結為常見數量關系，因而很難列式計算出答案。正如例1圍羊圈，幾乎每個學生都能說出一兩種圍法，但不容易說出一共有幾種圍法，更列不出算式。如果從能夠說出的圍法切入，依次把其他各種圍法都排列出來，問題自然就解決了。二是不重復、不遺漏地枚舉，需要有條理的細致思考，對思維品質有很好的作用，是數學教學的任務。如例2里訂雜志，先考慮訂l本，再考慮訂2本，最后考慮訂3本，這已經是有序思考。在只訂l本和訂2本里，還要列舉出各種可能，又有助于培養思維的條理性。教學枚舉策略和教學其他策略一樣，仍然要注重學會方法、體驗方法，讓枚舉的形式靈活多樣，富有個性。例3的教學，首先要理解問題情境，營造枚舉氛圍，找到枚舉的切入口。23人到旅館住宿，住的房間有3人間和2人間，3人間的間數沒有規定，可能是1間、2間……住的2人間也可能是1間、2間……由此，解決這個問題可以用一一列舉的方法，從3人間住1間開始列舉，或者從2人間住1間開始列舉。其次要隨時檢驗每次列舉的情況，判斷是否符合題意。問題情境規定每個房間不能有空床位，這就是說，3人間按1間、2間……依次列舉，必須相應的2人間沒有空床位，才是合適的安排，可以保留。同樣，2人間按1間、2間……列舉，相應的3人間有空床位，屬不合適的安排，必須放棄。然后要體會這個問題用枚舉方法解答的好處，體會枚舉的起點和有序枚舉的過程，比較從3人間開始枚舉和從2人間開始枚舉哪一種優點明顯。最后還要體會檢驗的重要性，這在前面的問題中是沒有的，在六年級運用嘗試的策略解決問題時，也需要類似的經驗。

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