宜昌市中考數學試題解析(3)

　　解答： (1)證明：∵DO⊥AB，

　　∴∠DOB=∠DOA=90°，

　　∴∠DOB=∠ACB=90°，

　　又∵∠B=∠B，

　　∴△DOB∽△ACB;

　　(2)解：∵∠ACB=90°，

　　∴AB= = =10，

　　∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

　　∴DC=DO，

　　在Rt△ACD和Rt△AOD中，

　　，

　　∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，

　　∴AC=AO=6，

　　設BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，

　　在Rt△BOD中，根據勾 股定理得：DO2+OB2=BD2，

　　即(8﹣x)2+42=x2，

　　解得：x=5，

　　∴BD的長為5;

　　(3)解：∵點B′與點B關于直線DO對稱，

　　∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，

　　∵∠B為銳角，

　　∴∠OB′D也為銳角，

　　∴∠AB′D為鈍角，

　　∴當△AB′D為等腰三角形時，AB′=DB′，

　　∵△DOB∽△ACB，

　　∴ = = ，

　　設BD=5x，

　　則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，

　　∵AB′+B′O+BO=AB，

　　∴5x+4x+4x=10，

　　解得：x= ，

　　∴BD= .

　　點評： 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識;本題難度較大，綜合性強，特別是(2)(3)中，需要根據題意列出方程，解方程才能得出結果.

　　21.(8分)(2015宜昌)如圖，已知點A(4，0)，B(0，4 )，把一個直角三角尺DEF放在△OAB內，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動.其中∠EFD=30°，ED=2，點G為邊FD的中點.

　　(1)求直線AB的解析式;

　　(2)如圖1，當點D與點A重合時，求經過點G的反比例函數y= (k≠0)的解析式;

　　(3)在三角尺滑動的過程中，經過點G的反比例函數的圖象能否同時經過點F?如果能，求出此時反比例函數的解析式;如果不能，說明理由.

　　考點： 反比例函數綜合題..

　　分析： (1)設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可;

　　(2)由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點D坐標，得出點F、G坐標，把點G坐標代入反比例函數求出k即可;

　　(3)設F(t，﹣ t+4 )，得出D、G坐標，設過點G和F的反比例函數解析式為y= ，用待定系數法求出t、m，即可得出反比例函數解析式.

　　解答： 解：(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，

　　∵A(4，0)，B(0，4 )，

　　∴ ，

　　解得： ，

　　∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4 ;

　　(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

　　∴EF=2 ，DF=4，

　　∵點D與點A重合，

　　∴D(4，0)，

　　∴F(2，2 )，

　　∴G(3， )，

　　∵反比例函數y= 經過點G，

　　∴k=3 ，

　　∴反比例函數的解析式為：y= ;

　　(3)經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F;理由如下：

　　∵點F在直線AB上，

　　∴設F(t，﹣ t+4 )，

　　又∵ED=2，

　　∴D(t+2，﹣ t+2 )，

　　∵點G為邊FD的中點.

　　∴G(t+1，﹣ t+3 )，

　　若過點G的反比例函數的圖象也經過點F，

　　設解析式為y= ，

　　則 ，

　　整理得：(﹣ t+3 )(t+1)=(﹣ t+4 )t，

　　解得：t= ，

　　∴m= ，

　　∴經過點G的反比例函數的圖象能同時經過點F，這個反比例函數解析式為：y= .

　　點評： 本題是反比例函數綜合題目，考查了用待定系數法求一次函數的解析式、求反比例函數的解析式、坐標與圖形特征、解直角三角形、解方程組等知識;本題難度較大，綜合性強，用待定系數法確定一次函數和反比例函數的解析式是解決問題的關鍵.

　　22.(10分)(2015宜昌)全民健身和醫療保健是社會普遍關注的問題，2014年，某社區共投入30萬元用于購買健身器材和藥品.

　　(1)若2014年社區購買健身器材的費用不超過總投入的 ，問2014年最低投入多少萬元購買藥品?

　　(2)2015年，該社區購買健身器材的費用比上一年增加50%，購買藥品的費用比上一年減少 ，但社區在這兩方面的總投入仍與2014年相同.

　　①求2014年社區購買藥品的總費用;

　　②據統計，2014年該社區積極健身的家庭達到200戶，社區用于這些家庭的藥品費用明顯減少，只占當年購買藥品總費用的 ，與2014年相比，如果2015年社區內健身家庭戶數增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費用降低的百分比相同，那么，2015年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的 ，求2015年該社區健身家庭的戶數.

　　考點： 一元二次方程的應用;二元一次方程組的應用;一元一次不等式的應用..

　　專題： 應用題.

　　分析： (1)設2014年購買藥品的費用為x萬元，根據購買健身器材的費用不超過總投入的 ，列出不等式，求出不等式的解集即可得到結果;

　　(2)①設2014年社區購買藥品的費用為y萬元，則購買健身器材的費用為(30﹣y)萬元，2015年購買健身器材的費用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購買藥品的費用為(1﹣ )y萬元，根據題意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到結果;

　　②設這個相同的百分數為m，則2015年健身家庭的藥品費用為200(1+m)，根據2015年該社區用于健身家庭的藥品費用就是當年購買健身器材費用的 ，列出方程，求出方程的解即可得到結果.

　　解答： 解：(1)設2014年購買藥品的費用為x萬元，

　　根據題意得：30﹣x≤ ×30，

　　解得：x≥10，

　　則2014年最低投入10萬元購買商品;

　　(2)①設2014年社區購買藥品的費用為y萬元，則購買健身器材的費用為(30﹣y)萬元，

　　2015年購買健身器材的費用為(1+50%)(30﹣y)萬元，購買藥品的費用為(1﹣ )y萬元，

　　根據題意得：(1+50%)(30﹣y)+(1﹣ )y=30，

　　解得：y=16，30﹣y=14，

　　則2014年購買藥品的總費用為16萬元;

　　②設這個相同的百分數為m，則2015年健身家庭的藥品費用為200(1+m)，

　　2015年平均每戶健身家庭的藥品費用為 (1﹣m)萬元，

　　依題意得：200(1+m) (1﹣m )=(1+50%)×14× ，

　　解得：m=± ，

　　∵m>0，∴m= =50%，

　　∴200(1+m)=300(戶)，

　　則2015年該社區健身家庭的戶數為300戶.

　　點評： 此題考查了一元二次方程的應用，二元一次方程組的應用，以及一元一次不等式的應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

　　23.(11分)(2015宜昌)如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點E，F是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點，AD分別于EF，GF交于I，H兩點.

　　(1)求∠FDE的度數;

　　(2)試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結論;

　　(3)當G為線段DC的中點時，

　　①求證：FD=FI;

　　②設AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比 .

　　考點： 圓的綜合題;等腰三角形的判定;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;三角形中位線定理;平行四邊形的判定與性質;菱形的性質..

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)根據直徑所對的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°;

　　(2)由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據四邊形ABCD是菱形即可得到結論;

　　(3)①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有 = ，根據圓周角定理可得∠1=∠2，根據等角的余角相等可得∠3=∠4，根據等角對等邊可得FD=DI;②易知S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= 2m2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運用勾股定理即可解決問題.

　　解答： 解：(1)∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°;

　　(2)四邊形FACD是平行四邊形.

　　理由如下：

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