均值不等式的證明

均值不等式的證明

設a1,a2,a3...an是n個正實數，求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡單的詳細過程，謝謝!!!!

你會用到均值不等式推廣的證明，估計是搞競賽的把

對n做反向數學歸納法

首先

歸納n=2^k的情況

k=1 。。。

k成立 k+1 。。。

這些都很簡單的用a+b>=√(ab) 可以證明得到

關鍵是下面的反向數學歸納法

如果n成立 對n-1，

你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已經成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得證

n=2^k中k是什么范圍

k是正整數

第一步先去歸納2，4，8，16，32 ... 這種2的k次方的數

一般的數學歸納法是知道n成立時，去證明比n大的時候也成立。

而反向數學歸納法是在知道n成立的前提下，對比n小的數進行歸納，

指“平方平均”大于“算術平均”大于“幾何平均”大于“調和平均”

我記得好像有兩種幾何證法，一種三角證法，一種代數證法。

請賜教!

sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證明：

1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n

兩邊平方,即證 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n

(1) 如果你知道柯西不等式的一個變式，直接代入就可以了：

柯西不等式變式：

a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)

當且僅當a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號成立

只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2

[競賽書上都有證明：空間向量法;二次函數法;是赫爾德不等式的特例]

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式: 若f(x)在定義域內是凸函數，則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx 顯然，lgx在定義域內是凸函數[判斷凸函數的方法是二階導數<0,或從圖象上直接觀察]

nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an

也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(a1a2..an)

f(x)在定義域內單調遞增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2..an)

(2)原不等式即證：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

先證明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同號]≥0

2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...

≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重復操作n次]≥...≥2na1a2...an

即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)數學歸納法:但要用到 (1+x)^n>1+nx這個不等式，不予介紹

3.n次根號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即證：n次根號(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左邊=n次根號[a2a3..an/a1^(n-1)]+n次根號+[a1a3a4..an/a2(n-1)]+n次根號[a1a2a4...an/a3^(n-1)]+...n次根號[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]

由2得 和≥n*n次根號(它們的積) 所以左邊≥n*n次根號(1)=n

所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

證畢

特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b

證明：

1.sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2 兩邊平方 a^2+b^2≥(a+b)^2/4 即證 (a/2-b/2)^2≥0 顯然成立

2.(a+b)/2≥sqrt(ab) 移項 即證 (sqrt(a)-sqrt(b))≥0 顯然成立

此不等式中 a+b可以表示一條直徑的兩部分，(a+b)/2=r sqrt(ab)就是垂直于直徑的弦，而r≥弦的一半

3.sqrt(ab)≥2/1/a+1/b 兩邊同時乘上 1/a+1/b 即證 sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2

而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2[由上一個不等式]。

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