如何證明極限不存在

反證法

若存在實數L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0點的任意小的鄰域X內，總存在整數n，

①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，

②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，

使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，

和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，

同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L 成立的實數L不存在。

反證法：

一個數列{an}極限存在,另一個數列{bn}極限不存在

假設兩數列之和{cn}的極限存在，那么bn=cn-an極限也存在(兩個數列和的極限等于兩個數列極限的和)

矛盾

所以原命題成立

令y=x, lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

= lim(x趨于0) x^3-x^2/ x^2 =-1

兩種情況極限值不同，故原極限不存在

2答案： 首先需要二項式定理：

(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)

用數學歸納法證此定理：

n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1時，式一成立。

設n1為任一自然數，假設n=n1時，(式一)成立 ，即：

(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)

則，當n=n1+1時:

式二兩端同乘(a+b)

[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)

= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)

因此二項式定理(即式一成立)

下面用二項式定理計算這一極限：

(1+1/n)^n (式一)

用二項式展開得：

(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n

由于二項展開式系數項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數相同，而系數為1，因此，最高次項與(1/n)的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約后，分子剩下常數，而分母總余下n的若干次方，當n - +∞,得0。因此總的結果是當n - +∞，二項展開式系數項的各項分子乘積與(1/n)的相應項的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：

(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)

當n - +∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。

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