高中數學教案：圓的標準方程

　　1.教學目標

　　(1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;

　　2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程.

　　(2)能力目標: 1.進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;

　　2.使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;

　　3.增強學生用數學的意識.

　　(3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.

　　2.教學重點.難點

　　(1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用.

　　(2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰

　　當的坐標系解決與圓有關的實際問題.

　　3.教學過程

　　(一)創設情境(啟迪思維)

　　問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?

　　[引導] 畫圖建系

　　[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)

　　解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)

　　將x=2.7代入,得 .

　　即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。

　　(二)深入探究(獲得新知)

　　問題二:1.根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?

　　答:x2 y2=r2

　　2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?

　　[學生活動] 探究圓的方程。

　　[教師預設] 方法一:坐標法

　　如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

　　由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①

　　把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

　　方法二:圖形變換法

　　方法三:向量平移法

　　(三)應用舉例(鞏固提高)

　　i.直接應用(內化新知)

　　問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)

　　(1)圓心在原點,半徑為3;

　　(2)圓心在 ,半徑為 ;

　　(3)經過點 ,圓心在點 .

　　2.根據圓的方程寫出圓心和半徑

　　(1) ; (2) .

　　ii.靈活應用(提升能力)

　　問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.

　　[教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.

　　2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程.

　　[學生活動]探究方法

　　[教師預設]

　　方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率-垂直)

　　方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率-聯立方程)

　　方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式) [多媒體課件演示]

　　方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)

　　3.你能歸納出具有一般性的結論嗎?

　　已知圓的方程是 ,經過圓上一點 的切線的方程是: .

　　iii.實際應用(回歸自然)

　　問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).

　　[多媒體課件演示創設實際問題情境]

　　(四)反饋訓練(形成方法)

　　問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.

　　2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.

　　3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程.

　　4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程.

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