考研數學線性代數命題注重知識點的銜接與轉換

考研數學線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，根據數學輔導專家多年來對考研數學命題的分析發現，線性代數的命題重點，除了對基礎知識的注重外，還偏向于知識點的銜接與轉換。

舉例來說，設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關系，可以有r(B)≤n－r(A)即r(A)＋r(B)≤n，進而可求矩陣A或B中的一些參數。

再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P－1AP＝∧可知A有n個線性無關的特征向量，P就是由A的線性無關的特征向量所構成，再由特征向量與基礎解系間的聯系可知此時若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE－A)x＝0的基礎解系由ni個解向量組成，進而可知秩r(λiE－A)＝n－ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE－A)＜n－ni，若A是實對稱矩陣，則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE－A)＝n－ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現相似對角化。

又比如，對于n階行列式我們知道：若|A|＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當|A|≠0時，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用|A|證明矩陣A是否可逆，并在可逆時通過伴隨矩陣來求A－1；對于n個n維向量α1，α2，……αn可以利用行列式|A|＝|α1α2……αn|是否為零來判斷向量組的線性相關性；矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計算行列式|λE－A|，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式|λ0E－A|＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

凡此種種，正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。復習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

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