方程組在解計算題中的應用

為什么要討論方程組在解物理計算題中應用這一問題呢？主要是考慮到與高中解題思路的銜接問題，在高中物理中強調的是對物理過程的分析和描述，而描述物理過程的數學工具就是用物理公式建立相關的方程，一個比較復雜的物理過程，往往需要建立好幾個方程才能奏效.另外因不少學生在拿到一道計算題時他的著眼點往往不是根據題給條件，去考慮如何用所學的物理原理去分析"條件"、用物理公式去描述這個"條件"，而把注意力放在了所要求的結果上去了，其實當你把物理條件用物理公式正確地表述出來之后，其結果自然會水到渠成得出的.再者在使用方程組解題時，要用到多個未知量，我們的學生會耽心怎樣把這些未量一一消掉，當然數學基礎不太好的同學，對方程組的解會有一定的困難，對此應加強這方面的訓練.本文想通過一個典型例題來說明這一觀點.

  例題.用密度是ρ甲=4╳103kg/m3的材料制成的空心球甲和用密度ρ乙=8╳103kg/m3的材料制成的空心球乙，兩球的質量相等，乙球恰好在水中懸浮.

（1）若把甲球置于足夠多的水中時，求甲球露出水面的體積和甲球總體積之比.

（2）在甲球的空心處有的適量酒精，使甲球也可在水中懸浮，求酒精的體積和空心部分體積之比（ρ酒精=0.8╳103kg/m3）.

分析：基于利用方程組的解題思路，我們先假設甲球的體積為V甲，乙球的體積為V乙，兩球的空心部分的體積均為Vo，水的密度為ρ水=1.0╳103kg/m3，甲球放入水中后排開水的體積為V排，甲球里面酒精的體積為V酒精.

   接下來的思路是如何根據題給條件利用相應的物理原理列方程了：

  （1）根據兩球的質量相等的條件有：ρ甲（V甲-Vo）=ρ乙（V乙-Vo）-----（1）   （2）根據乙球恰好在水中懸浮的條件有，由重力等于浮力得：ρ乙（V乙-Vo）g=ρ水V乙g----------（2）

  （3）將甲球放入水中后因它是處于懸浮狀態，所以它的重力也等于所受到的浮力， 于是有：

  ρ甲（V甲-Vo）g=ρ水V排g---------（3） 

  （4）甲露出水水面的體積和甲的總體積之比等于：（V甲-V排）/V甲-----------（4）

  由上可見為了解答第一小題，列出了3個方程（第四式是本小題要求的結論），涉及到V甲、Vo、V乙和V排等共四個未知量，解起方程來也是挺復雜的.那么為什么要這樣做呢？原因是只有這樣才符合物理學的思維方法，所謂物理學的思維方法是每一物理現象都符合一定的物理規律，即符合某一物理定律，我們中學里學物理的任務是用學過的物理原理去描述物理現象，將來如果是研究物理的話，就要倒過來：根據你所發現的新的物理現象，去總結規律了.何況進入高中后，解物理題時一般都采用這種方法，如果能在初中就加強這方面的訓練，對未來高中學習物理打下一個良好的基礎，也是初高中物理教學銜接的一個方面.

   當你把物理題中給出的條件一一用物理公式把它表達出----即把它"翻譯"成數學方程時，其實你就基本上完成了出題者交給你的任為了.接下來的問題是如何解數學方程的事情了.這樣的解題方法，只要題目沒有出錯，列出未知數再多，都可以在解題的過程中被一一消去，達到成功的彼岸：

  （1）將甲、乙的密度代入1式，得V乙=（V甲+Vo）/2.

  （2）將乙和水的密度代入2式得：8（V乙-Vo）=V乙從而得：7V乙

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