立體幾何證明題

時間：2023-04-29 20:40:23 證明范文我要投稿

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立體幾何證明題

如圖，原題意就是一個正方體，然后E、F分別是A'B、B'C的中點，求證EF//面ABCD。

立體幾何證明題

那些虛線是我做的輔助線，EM⊥AB，FN⊥BC，連接MN;然后EG⊥BB'，連接FG，EF。然后證那個五面體EGF-MBN是個三棱柱，從而證得EF//面ABCD，可不可以?

證明:(1)連接BG并延長交PA于點H..

因為PA,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...

因為G為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因為PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....

即GF⊥PB...因為PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...

所以GF⊥面PBC...

(2)在BC上取異于E的一點K,,使得CK=1/3BC...

因為BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..

因為E為BK中點,,BF=FK..所以FE⊥BC...

1.設P點的射影是H因為PB=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂線的交點，因為BH^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因為A是BC,DC的中垂線的交點，所以A與P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中點F，過F做FM垂直AB于M，則∠EMF為所求角因為EF=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N為AC中點)則可求得

取CD和BC的中點M,N,連接PM,PN,AM,AN,因為三角形ABC和三角形PBC都為等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN還垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理證PA垂直于CD,即可。第二問，建空間直角坐標系，求兩個面的法向量，再用向量夾角公式就可求出，結果為arccos(根號下21)/7.

PA⊥AB PA⊥AC，∴PA⊥面ABC

∴PA⊥BC，

又∵AB⊥BC

∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AE

又因為 AE⊥PB

∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PC

又∵ AF⊥PC

∴ PC⊥平面AEF

證明:(1)連接BG并延長交PA于點H..

因為PA,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...

因為G為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因為PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....

即GF⊥PB...因為PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...