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構造組合模型巧證組合恒等式 論文
證明組合恒等式，一般是利用組合數的性質、數學歸納法、二項式定理等，通過一些適當的計算或化簡來完成．但是，很多組合恒等式，也可直接利用組合數的意義來證明．即構造一個組合問題的模型，把等式兩邊看成同一組問題的兩種計算方法，由解的唯一性，即可證明組合恒等式．
例１證明Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－１＋Ｃｎ－１ｍ－１．
分析：原式左端為ｍ個元素中取ｎ個的組合數．原式右端可看成是同一問題的另一種算法：把滿足條件的組合分為兩類，一類為不取某個元素ａ１，有Ｃｎｍ－１種取法．一類為必取ａ１有Ｃｎ－１ｍ－１種取法．由加法原理可知原式成立．
例２證明Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ．
分析：原式左端可看成一個班有ｍ個人，從中選出ｎ個人打掃衛生，在選出的ｎ個人中，ｐ人打掃教室，余下的ｎ－ｐ人打掃環境衛生的選法數．原式右端可看成直接在ｍ人中選出ｐ人打掃教室，在余下的ｍ－ｐ人中再選出ｎ－ｐ人打掃環境衛生．顯然，兩種算法計算的是同一個問題，結果當然是一致的．
以上兩例雖然簡單，但它揭示了用組合數的意義證明組合恒等式的一般思路：先由恒等式中意義比較明顯的一邊構造一個組合問題的模型，再根據加法原理或乘法原理對另一邊進行分析．若是幾個數（組合數）相加的形式，可以把構造的組合問題進行適當分類，如例１，若是幾個數（組合數）相乘的形式，則應進行適當的分步計算，如例２，當然，很多情況下是兩者結合使用的．
例３證明Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ１ｍＣｋ－１ｎ＋Ｃ２ｍＣｋ－２ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，其中當ｐ＞ｑ時Ｃｐｑ＝０．
證明：原式左邊為ｍ＋ｎ個元素中選ｋ個元素的組合數．今將這ｍ＋ｎ個元素分成兩組，第一組為ｍ個元素，剩下的ｎ個元素為第二組，把取出的ｋ個元素，按在第一組取出的元素個數ｉ（ｉ＝０，１，２，…，ｋ）進行分類，這一類的取法數為ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ個元素中取ｋ個元素的取法數又可寫成?ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立．
例４證明
Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．
證明：原式右邊為ｍ＋ｎ＋１個元素中取ｎ＋１個，元素的組合數，不失一般性，可以認為是在１，２，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋１，共ｍ＋ｎ＋１個數中取ｎ＋１個數．將取出的ｎ＋１個數ａ１，ａ２…，ａｎ＋１由小到大排列，即設ａ１＜ａ２＜ａｎ＋１，按取出的最大數ａｎ＋１＝ｋ＋１分類，顯然ｋ＝ｎ，ｎ＋１，…，ｎ＋ｍ．當ｋ＝ｎ＋ｉ時（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），這一類取法數為Ｃｎｎ＋ｉ，所以取法總數又等于?ｍｉ＝０Ｃｎｎ＋ｉ．原式成立．
對于某些組合恒等式，有時其左右兩邊所表示的意義都不易看出，但是如果根據組合數的特點仔細分析，或對原式進行一些適當的變形，往往可以巧妙地構造一個組合問題做為模型，證明就可化難為易．
例５證明Ｃ１ｎ＋２Ｃ２ｎ＋３Ｃ３ｎ＋…＋ｎＣｎｎ＝ｎ２ｎ－１．
分析：注意，原式左端等價于Ｃ１１Ｃ１ｎ＋Ｃ１２Ｃ２ｎ＋…＋Ｃ１ｎ
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