求組合圖形面積的基本解法與思路下

時間：2023-04-30 11:44:57 數學論文我要投稿

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求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

如果一個陰影部分所示的圖形既不是基本圖形，也不能通過分解、隔離、組合、平移、旋轉和割補等方法轉化成基本圖形或其相加減的形式時，應該怎么求解呢？如前面所介紹的方框圖所示，這時可運用一些特殊的方法進行分析解答。

倍分比較法

有些求面積問題，往往已知甲圖形的面積卻要求乙圖形的面積，這時，可通過尋找甲乙兩圖形之間存在的關系去求解。這個關系就是兩圖形面積之間的倍率（幾倍）或分率（幾分之幾）關系。這種思路往往是通過添加合適的輔助線來構成等底等高的三角形（或其它面積有倍分關系的圖形）來進行比較和解答的。

例１．如圖１所示，三角ABC的面積為１００平方厘米，D、E、F分別為三條邊的四、五、六等分點。求三角形DEF的面積。

（附圖 {圖}）

（１）

分析解答：根據題中的已知條件我們可推想，所求面積與已知面積之間存在著一種倍分關系，因為“兩三角形如等高，則其面積之比等于相對應底邊長的比”。所以，我們來“創造”這樣的三角形來幫助解答。連接 BD，由于AF＝５／６AB，所以三角形AFD的面積占三角形ABD面積的５／６，而三角形ABD的面積又剛好是三角形 ABC面積的１／４（因為AD＝１／４AC），所以，三角形AFD的面積占三角形ABC面積的分率為１／４×５／６＝５／２４。同理，三角形FBE和三角形ECD所占分率分別為４／５×１／６＝２／１５，３／４×１／５＝３／２０。因此，所求三角形DEF面積所占的分率為１－５／２４－２／１５－３／２０＝６１／１２０，其面積為１００×６１／１２０＝５０．８（平方厘米）。

字母代換法

有些問題直接用算術方法解答不方便，我們可以設字母來代換。這些字母可以是所求量，也可以是中間量，它們有時只起媒介作用，在求解過程中，作為一個整體或一個數參加運算，在計算中互相抵銷或被替代。有時卻需要通過比較、代換等簡單代數運算求出它們所代表的數值后再尋求問題的答案。

例２．用一條長７５分米的鐵絲圍成一個平行四邊形的框架，要求它的兩條高分別為１４分米、１６分米（如圖２所示），這個平行四邊形的面積是多少？

（附圖 {圖}）

（２）分析解答：條件中告訴了兩條高的長度。因為在同一平行四邊形中，由于面積一定，由“平行四 邊形面積＝底×該底邊上的高”可看出：高與對應的底邊成反比例關系，所以可以用設字母等量代換的方法進行解答。設與兩條高相對應的底邊分別長a分米和b分米，面積為S平方分米，可得a×１４＝b×１６＝S，a＝S ／１４，b＝S／１６而“a＋b”為周長的一半，等于７５／２分米，所以有S／１４＋S／１６＝７５／２，即 S×（１／１４＋１／１６）＝７５／２；因此，所求平行四邊形的面積為：

（附圖 {圖}）

極端處置法

一般來說，任何事物既遵循某種規律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性規律。在解答有些問題時，我們可以用變化的觀點將圖形設想于某一特殊情形來考慮，這樣，往往能絕處逢生，找到解題途徑。

例３．邊長分別為４和３的兩個正方形，如

（附圖 {圖}）

（３）

分析解答：此題是求兩個正方形未重疊部分的面積之差是多少。從圖中可看出，空白部分可大可小，直接計算很難解答。如果我們這樣想：當這兩個正方

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